a[0] > 0. a[n+1] = log(a[n]) \ (n ≥0).

n→∞のとき収束するa[0]の範囲と収束値

>>1
tannpatu situmonn kinnsi

収束しないし、途中で0以下になるから定義されない

じゃあ、a[n+1] = |log(a[n])| ならどうだ？

a ≠ 1, e, e^e, e^e^e, ...として

a[n+1] = exp(-a[n])ならどうだ

>>6
f(x) = x - exp(-x)とする
fは連続
f(0) = -1 < 0
f(1) = 1 - exp(-1) > 1 - exp(0) = 0
なので、中間値の定理からf(x) = 0となるxが、0 < x < 1に存在する
f'(x) = 1 + exp(-x) > 0なので、fは単調
よって、そのようなxは一意であるので、αとおく

a[0]が何であっても、a[1] = exp(-a[0]) > 0。
0 < a[2] = exp(-a[1]) < exp(0) = 1。
exp(-1) < a[3] < exp(0) =1。
exp(-1) < a[4] < exp(-exp(-1))
exp(-exp(-exp(-1))) < a[5] < exp(-exp(-1))
exp(-exp(-exp(-1))) < a[5] < exp(-exp(-exp(-exp(-1))))
...

この両端がαに収束することを示す

b[0] = 0
b[n+1] = exp(-b[n])とすると

b[0] < a[1]
b[0] < a[2] < b[1]
b[2] < a[3] < b[1]
b[2] < a[4] < b[3]
b[4] < a[5] < b[3]
b[4] < a[6] < b[5]
...

0 ≤ b[n] ≤ 1

b[2n] =: c[n]
b[2n+1] =: d[n]

c[n], d[n]がαに収束することを示す

g(x) = x - exp(-exp(-x))を考える
gは単調で、g(α) = 0。

x > αなら、g(x) > 0.
exp(-x) < exp(-α) = α
∴ exp(-exp(-x)) > α

x < αなら、g(x) < 0、
exp(-exp(-x))) < α

よって、c[n], d[n]は有界単調なので収束する。極限はα。
よって、a[n]もαに収束する。